JavaScript Frontend Framework

Nel dinamico mondo dello sviluppo web, JavaScript si è affermato come la spina dorsale delle esperienze online moderne e interattive. Se HTML fornisce la struttura e CSS lo stile, è JavaScript che infonde vita e dinamicità alle pagine web, consentendo agli sviluppatori di creare applicazioni web altamente reattive.

Tuttavia, costruire applicazioni web complesse da zero con solo JavaScript può essere dispendioso in termini di tempo e difficile da gestire. È qui che entrano in gioco i JavaScript frontend framework. Questi strumenti potenti semplificano il processo di creazione di applicazioni web dinamiche e reattive, offrendo strutture e componenti predefiniti che consentono agli sviluppatori di concentrarsi sulla fornitura di esperienze utente efficaci.

Ma cosa offrono esattamente questi framework? Molti framework condividono alcune caratteristiche comuni che ne facilitano l’uso e ne migliorano l’efficienza:

Architettura basata su componenti: L’interfaccia utente viene suddivisa in componenti modulari e riutilizzabili, semplificando lo sviluppo, migliorando la qualità del codice e promuovendo la collaborazione all’interno del team. Esempi di come questi componenti vengono creati variano tra i framework, con estensioni di file come .jsx o .tsx per React e Next.js, .vue per Vue.js e Nuxt.js, .svelte per Svelte e .astro per Astro. Nonostante le differenze sintattiche, l’obiettivo è lo stesso: separare il codice per riusabilità e manutenibilità.
Gestione del Rendering (CSR e SSR): Molti framework supportano sia il Rendering Lato Cliente (CSR) che il Rendering Lato Server (SSR). Il CSR offre un’esperienza utente più dinamica riducendo il carico del server, ma può influire negativamente sui tempi di caricamento iniziali e sulla SEO. L’SSR, d’altra parte, può portare a tempi di caricamento iniziali più rapidi e migliorare la SEO. Framework come Next.js (per React), Nuxt.js (per Vue.js) e SvelteKit supportano l’SSR per impostazione predefinita.
Gestione dello Stato: La gestione dello stato è fondamentale nello sviluppo frontend. Si tratta del processo di memorizzazione e accesso ai dati in tutta l’applicazione per un facile utilizzo tra i diversi componenti. I framework spesso forniscono soluzioni integrate o raccomandate per la gestione dello stato, come Redux per React, Vuex o Pinia per Vue.js e Nuxt.js, NgRx per Angular e Nano Stores per Astro.

Il panorama dei frontend framework JavaScript è vasto e in continua evoluzione. Alcuni dei framework più popolari includono:

React: Una libreria UI ampiamente utilizzata, nota per la sua architettura basata su componenti, il Virtual DOM e la sua vasta comunità ed ecosistema. Librerie come Next.js si basano su React per fornire funzionalità SSR e full-stack.
Angular: Un framework completo sviluppato in TypeScript, ideale per la costruzione di Single Page Applications (SPA) dinamiche e su larga scala. Offre funzionalità come il data binding bidirezionale e l’Angular CLI.
Vue.js: Un framework progressivo, apprezzato per la sua sintassi flessibile e la curva di apprendimento più dolce rispetto ad Angular, pur offrendo funzionalità avanzate come la Composition API e un ecosistema in crescita. Nuxt.js è un framework basato su Vue.js che semplifica l’SSR e la creazione di applicazioni full-stack.
Svelte: Un framework unico che compila i componenti in codice JavaScript efficiente che aggiorna direttamente il DOM, risultando in applicazioni più veloci e leggere. SvelteKit è il framework full-stack basato su Svelte che supporta l’SSR per impostazione predefinita.
Remix: Un framework full-stack basato su React Router, focalizzato sul miglioramento dell’esperienza utente per applicazioni veloci e dinamiche, con un forte supporto per la gestione dei dati e dei moduli.
Astro: Un framework moderno progettato principalmente per la costruzione di siti web ricchi di contenuti, che utilizza un’architettura a isole per ridurre i payload JavaScript e migliorare le prestazioni.
Solid.js: Un framework che si concentra sulla reattività fine-grained lavorando direttamente con il DOM reale, offrendo alte prestazioni. SolidStart è il framework full-stack basato su Solid.js.
TanStack: Una collezione di librerie headless e type-safe per varie funzionalità come routing, gestione dello stato del modulo e tabelle dati, progettate per essere agnostiche dal framework e supportare React, Vue, Angular e Solid.

La scelta del framework “migliore” non esiste. Dipende da una serie di fattori, tra cui i requisiti del progetto, il tipo di applicazione che si sta costruendo, la dimensione e l’attività della comunità, l’ecosistema disponibile e la curva di apprendimento.

Il panorama dello sviluppo frontend è in continua evoluzione, con nuove funzionalità e approcci che emergono regolarmente. Un trend interessante è l’integrazione dell’intelligenza artificiale (IA) negli strumenti di sviluppo frontend, con AI che aiuta nella generazione di codice e nel miglioramento dei flussi di lavoro. JavaScript, essendo un linguaggio versatile, gioca un ruolo cruciale anche nello sviluppo di interfacce AI.

In conclusione, i JavaScript frontend framework sono strumenti essenziali per lo sviluppatore web moderno. Offrono una varietà di funzionalità e approcci per semplificare la creazione di applicazioni web interattive e performanti. Rimanere aggiornati sulle ultime tendenze e valutare attentamente le esigenze del proprio progetto sono passi fondamentali per scegliere il framework giusto per il proprio progetto web.

L’Orizzonte Post-Quantistico: Prepararsi alle Sfide Crittografiche del Futuro

Nel panorama della sicurezza informatica, l’avanzamento tecnologico porta con sé nuove minacce e la necessità di evolvere costantemente le nostre difese. Una delle sfide più significative all’orizzonte è rappresentata dall’emergere di computer quantistici su larga scala. I sistemi crittografici a chiave pubblica attualmente in uso, quali RSA, gli schemi basati sul logaritmo discreto (come Diffie-Hellman) e le curve ellittiche, sono vulnerabili ad attacchi condotti da tali macchine, in particolare grazie all’algoritmo di Shor.

La consapevolezza di questa minaccia futura ha portato alla coniazione del termine “crittografia post-quantistica” (PQC), che descrive sistemi crittografici alternativi progettati per resistere ad attacchi da parte di computer quantistici. Questa non è una problematica da affrontare in un lontano futuro; è imperativo dotare già oggi le nostre applicazioni con crittografia resistente agli attacchi quantistici per difenderci da minacce di tipo “store now, decrypt later”. Un avversario potrebbe memorizzare comunicazioni cifrate oggi, con l’intenzione di decifrarle una volta che un computer quantistico potente sarà disponibile.

La PQC è un campo di ricerca attivo e alcuni schemi sono già stati standardizzati. È fondamentale sottolineare che la PQC si concentra su algoritmi che girano su computer convenzionali ma sono capaci di contrastare attacchi che utilizzano computer quantistici, distinguendosi dalla crittografia quantistica (QC), che sfrutta effetti quantistici per la distribuzione di chiavi sicure (QKD).

Principi Fondamentali della Crittografia Post-Quantistica

Molti schemi PQC si basano su principi di perdita di informazione e approssimazione, introducendo incertezza per un attaccante. L’esempio del cubo proiettato in due dimensioni illustra come la riduzione di dimensionalità possa rendere difficile identificare univocamente una posizione. Questo concetto si lega alla funzione one-way delle funzioni hash. L’idea di trovare un punto (o simile elemento) che sia il più vicino a una struttura predefinita è alla base di approcci come la crittografia basata su reticoli e codici.

Le Famiglie Promettenti della Crittografia Post-Quantistica

La ricerca e la standardizzazione della PQC si concentrano principalmente su tre famiglie di algoritmi:

Crittografia basata su reticoli (Lattice-based cryptography): Questa famiglia sfrutta la difficoltà di problemi matematici su strutture algebriche chiamate reticoli. Un problema fondamentale è il Learning With Errors (LWE), che introduce un “rumore” a un punto del reticolo, rendendo difficile il recupero della sua posizione esatta. Varianti come Ring-LWE e Module-LWE migliorano l’efficienza utilizzando anelli polinomiali e moduli. Gli schemi basati su reticoli sono versatili e supportano sia trasporto di chiavi (ad esempio, KYBER, FRODO) che firme digitali (ad esempio, DILITHIUM, FALCON).
Crittografia basata su codici (Code-based cryptography): Questa approccio si basa sulla teoria dei codici di correzione degli errori. Il problema centrale è la decodifica di sindromi, che diventa computazionalmente difficile per codici generici. Lo schema di McEliece (basato su codici Goppa) e lo schema di Niederreiter sono esempi di crittosistemi a chiave pubblica basati su codici, utilizzati principalmente per il trasporto di chiavi. La sicurezza si basa sulla difficoltà di decodificare un codice lineare generale.
Crittografia basata su hash (Hash-based cryptography): Questa famiglia utilizza le proprietà di funzioni hash crittografiche one-way per costruire schemi di firme digitali. Le firme one-time (come Lamport-Diffie e Winternitz) costituiscono le fondamenta. Gli schemi many-time (come Merkle Signature Scheme — MSS) utilizzano alberi hash (alberi di Merkle) per aggregare più chiavi pubbliche one-time in un’unica chiave pubblica. Schemi standardizzati come XMSS e LMS (stateful) e SPHINCS+ (stateless) offrono alternative robuste per le firme digitali resistenti ai quantici.

Verso la Standardizzazione Post-Quantistica

Il National Institute of Standards and Technology (NIST) ha avviato un’importante iniziativa di standardizzazione per la crittografia post-quantistica nel 2017. Questo processo competitivo, simile a quello per AES e SHA‑3, ha visto la valutazione di numerosi candidati in diverse tornate. Nel 2022, sono stati selezionati i primi schemi per la standardizzazione:

KYBER (basato su Module-LWE): Meccanismo di incapsulamento di chiavi (KEM) selezionato come standard con il nome ML-KEM.
DILITHIUM (basato su Module-LWE): Schema di firma digitale selezionato come standard con il nome ML-SIG.
FALCON (basato su reticoli): Schema di firma digitale selezionato come candidato per la standardizzazione come FN-SIG.
SPHINCS+ (basato su hash): Schema di firma digitale selezionato per la standardizzazione.

Oltre a questi, è stata avviata una quarta tornata per considerare ulteriori candidati, principalmente KEM basati su codici. Anche organizzazioni come ISO stanno valutando schemi PQC come Classic McEliece e FRODOKEM per la standardizzazione.

Considerazioni sull’Implementazione della PQC

Sebbene la PQC prometta sicurezza nell’era quantistica, presenta alcune sfide:

Efficienza: Molti schemi PQC sono computazionalmente più intensi e richiedono più memoria rispetto a RSA ed ECC.
Dimensioni delle chiavi e degli output: Alcuni schemi hanno dimensioni di chiavi pubbliche (ad esempio, Classic McEliece) e firme (ad esempio, schemi basati su hash) significativamente maggiori rispetto alla crittografia classica. I meccanismi di crittografia (o KEM) PQC spesso comportano un’espansione del ciphertext.
Vincoli secondari: Alcuni schemi possono avere una piccola probabilità di fallimento nella decifrazione o nella generazione della firma. Gli schemi di firma stateful richiedono una gestione attenta dello stato per evitare il riutilizzo di firme one-time.
Sicurezza dell’implementazione: Le implementazioni PQC possono essere vulnerabili ad attacchi side-channel e fault injection, richiedendo tecniche di implementazione robuste.

Conclusioni

La crittografia post-quantistica rappresenta una risposta cruciale alla minaccia posta dai futuri computer quantistici ai sistemi crittografici attuali. La ricerca e la standardizzazione di schemi basati su reticoli, codici e hash stanno compiendo progressi significativi, preparando il terreno per una transizione verso algoritmi resistenti ai quantici. Comprendere i principi, le potenzialità e le sfide di queste nuove famiglie di algoritmi è fondamentale per garantire la sicurezza delle comunicazioni e dell’autenticazione nel futuro panorama informatico. La diversità degli schemi standardizzati sarà essenziale per soddisfare le diverse esigenze di sicurezza delle applicazioni moderne.

Glossary of AI, Machine Learning, and Quantum Computing Terms

Glossary of AI, ML, and Quantum Computing Terms

Glossary of AI, Machine Learning, and Quantum Computing Terms

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

A

AI (Artificial Intelligence): EN: The simulation of human intelligence processes by machines, particularly computer systems, encompassing learning, reasoning, and self-correction.
IT: La simulazione dei processi di intelligenza umana da parte delle macchine, in particolare sistemi informatici, comprendente apprendimento, ragionamento e autocorrezione.
ANN (Artificial Neural Network): EN: A computational model inspired by the structure and functioning of biological neural networks, used for tasks like pattern recognition and prediction.
IT: Un modello computazionale ispirato alla struttura e al funzionamento delle reti neurali biologiche, utilizzato per compiti come il riconoscimento di pattern e le previsioni.
AutoML (Automated Machine Learning): EN: The automation of machine learning tasks to simplify and speed up model development.
IT: L’automazione dei compiti di machine learning per semplificare e accelerare lo sviluppo di modelli.
API (Application Programming Interface): EN: A set of rules that allow different software entities to communicate with each other.
IT: Un insieme di regole che consente a diversi software di comunicare tra loro.
ALU (Arithmetic Logic Unit): EN: A component of a computer processor that performs arithmetic and logical operations.
IT: Un componente del processore di un computer che esegue operazioni aritmetiche e logiche.
ASR (Automatic Speech Recognition): EN: Technology that converts spoken language into text.
IT: Tecnologia che converte il linguaggio parlato in testo.
ACL (Active Learning Cycle): EN: A process to iteratively label data for training a model.
IT: Un processo per etichettare iterativamente i dati per addestrare un modello.
AMD (Approximate Message Passing): EN: An algorithm used in sparse signal reconstruction.
IT: Un algoritmo utilizzato nella ricostruzione di segnali sparsi.
AR (Augmented Reality): EN: A technology that overlays digital content onto the physical world.
IT: Una tecnologia che sovrappone contenuti digitali al mondo fisico.

B

BERT (Bidirectional Encoder Representations from Transformers): EN: A transformer-based model for natural language understanding.
IT: Un modello basato sui trasformatori per la comprensione del linguaggio naturale.
Big Data: EN: Large and complex datasets that require advanced analytics techniques to extract insights.
IT: Grandi e complessi set di dati che richiedono tecniche avanzate di analisi per estrarre informazioni.
Backpropagation: EN: A training algorithm used in artificial neural networks to minimize error.
IT: Un algoritmo di addestramento utilizzato nelle reti neurali artificiali per minimizzare l’errore.
Bayesian Network: EN: A probabilistic graphical model representing variables and their conditional dependencies.
IT: Un modello grafico probabilistico che rappresenta variabili e le loro dipendenze condizionali.
Blockchain: EN: A decentralized digital ledger that records transactions across many computers.
IT: Un registro digitale decentralizzato che registra transazioni su molti computer.
BN (Batch Normalization): EN: A technique to improve training speed and stability in neural networks.
IT: Una tecnica per migliorare la velocità e la stabilità dell’addestramento nelle reti neurali.
BO (Bayesian Optimization): EN: An approach to optimize hyperparameters using probabilistic models.
IT: Un approccio per ottimizzare iperparametri utilizzando modelli probabilistici.
BRNN (Bidirectional Recurrent Neural Network): EN: A neural network that processes input sequences in both forward and backward directions.
IT: Una rete neurale che elabora sequenze di input in entrambe le direzioni.
BSAS (Basic Sequential Algorithmic Scheme): EN: A clustering algorithm for sequential data.
IT: Un algoritmo di clustering per dati sequenziali.

C

CNN (Convolutional Neural Network): EN: A type of deep neural network used primarily for image and video recognition.
IT: Un tipo di rete neurale profonda utilizzata principalmente per il riconoscimento di immagini e video.
Cloud Computing: EN: The delivery of computing services over the internet.
IT: L’erogazione di servizi informatici tramite internet.
Cross-validation: EN: A technique for assessing how a machine learning model generalizes to an independent dataset.
IT: Una tecnica per valutare come un modello di machine learning si generalizza a un dataset indipendente.
CRF (Conditional Random Field): EN: A probabilistic model often used for structured prediction.
IT: Un modello probabilistico spesso utilizzato per la previsione strutturata.
CPU (Central Processing Unit): EN: The primary component of a computer that performs most of the processing.
IT: Il componente principale di un computer che esegue la maggior parte dell’elaborazione.
CD (Contrastive Divergence): EN: An algorithm to train energy-based models like RBMs.
IT: Un algoritmo per addestrare modelli basati sull’energia come gli RBM.
CUDA (Compute Unified Device Architecture): EN: A parallel computing platform and API by NVIDIA.
IT: Una piattaforma di calcolo parallelo e API di NVIDIA.
CTC (Connectionist Temporal Classification): EN: A training loss function for sequence-to-sequence models.
IT: Una funzione di perdita di addestramento per modelli sequenza-a-sequenza.

D

DNN (Deep Neural Network): EN: An artificial neural network with multiple layers, enabling complex data modeling.
IT: Una rete neurale artificiale con più strati, che consente una modellazione complessa dei dati.
Dataset: EN: A structured collection of data used as input for machine learning models.
IT: Una collezione strutturata di dati utilizzata come input per modelli di apprendimento automatico.
Dimensionality Reduction: EN: A process of reducing the number of variables under consideration.
IT: Un processo di riduzione del numero di variabili prese in considerazione.
Decision Tree: EN: A model used for classification and regression that splits data into branches.
IT: Un modello utilizzato per classificazione e regressione che divide i dati in rami.
Dropout: EN: A regularization technique to prevent overfitting in neural networks.
IT: Una tecnica di regolarizzazione per prevenire l’overfitting nelle reti neurali.
DAG (Directed Acyclic Graph): EN: A graph with directed edges and no cycles, used in data processing workflows.
IT: Un grafo con archi diretti e senza cicli, utilizzato nei flussi di lavoro di elaborazione dati.
DBN (Deep Belief Network): EN: A type of deep learning model composed of stacked restricted Boltzmann machines.
IT: Un tipo di modello di deep learning composto da macchine di Boltzmann ristrette impilate.
DQN (Deep Q‑Network): EN: A reinforcement learning algorithm combining Q‑learning with deep neural networks.
IT: Un algoritmo di apprendimento per rinforzo che combina Q‑learning con reti neurali profonde.
DLT (Distributed Ledger Technology): EN: A decentralized system for recording transactions across multiple nodes.
IT: Un sistema decentralizzato per registrare transazioni su più nodi.
DNA (Dynamic Neural Accelerator): EN: Hardware accelerators for improving neural network processing.
IT: Acceleratori hardware per migliorare l’elaborazione delle reti neurali.

E

EDA (Exploratory Data Analysis): EN: Techniques to analyze datasets, often visual, to summarize their main characteristics.
IT: Tecniche per analizzare i dataset, spesso visive, per riassumere le loro principali caratteristiche.
Edge Computing: EN: A paradigm that brings computation closer to the data source.
IT: Un paradigma che avvicina l’elaborazione alla sorgente dei dati.
Embedding: EN: A representation of data in a lower-dimensional space.
IT: Una rappresentazione dei dati in uno spazio a dimensioni ridotte.
ELU (Exponential Linear Unit): EN: An activation function used in neural networks.
IT: Una funzione di attivazione utilizzata nelle reti neurali.
Ensemble Learning: EN: A technique that combines predictions from multiple models.
IT: Una tecnica che combina le previsioni di più modelli.
ERM (Empirical Risk Minimization): EN: A principle for training models by minimizing error on a training dataset.
IT: Un principio per addestrare modelli minimizzando l’errore su un dataset di addestramento.
ETL (Extract, Transform, Load): EN: A process to extract data from sources, transform it, and load it into storage.
IT: Un processo per estrarre dati da fonti, trasformarli e caricarli in uno storage.
EWC (Elastic Weight Consolidation): EN: A method to prevent catastrophic forgetting in neural networks.
IT: Un metodo per prevenire la dimenticanza catastrofica nelle reti neurali.

F

FPGA (Field-Programmable Gate Array): EN: A hardware circuit designed to be configured after manufacturing.
IT: Un circuito hardware progettato per essere configurato dopo la produzione.
FLOPS (Floating Point Operations per Second): EN: A measure of computer performance, useful in fields requiring floating-point calculations.
IT: Una misura delle prestazioni di un computer, utile in campi che richiedono calcoli in virgola mobile.
Feature Extraction: EN: The process of reducing the dimensionality of data by selecting key features.
IT: Il processo di riduzione della dimensionalità dei dati selezionando caratteristiche chiave.
Feature Engineering: EN: Techniques to identify which features in a dataset are most influential in predicting outcomes.
Feature Importance: EN: The process of using domain knowledge to create input variables.
IT: Tecniche per identificare quali caratteristiche in un dataset sono più influenti nel prevedere i risultati.
Feedforward Neural Network: EN: A type of neural network where connections between nodes do not form cycles.
IT: Un tipo di rete neurale in cui le connessioni tra i nodi non formano cicli.
FNN (Feedforward Neural Network): EN: A neural network where connections between nodes do not form a cycle.
IT: Una rete neurale in cui le connessioni tra i nodi non formano un ciclo.
FTRL (Follow-The-Regularized-Leader): EN: An online optimization algorithm used in machine learning.
IT: Un algoritmo di ottimizzazione online utilizzato nell’apprendimento automatico.
FFT (Fast Fourier Transform): EN: An algorithm to compute the discrete Fourier transform and its inverse efficiently.
IT: Un algoritmo per calcolare in modo efficiente la trasformata di Fourier discreta e la sua inversa.

G

GAN (Generative Adversarial Network): EN: A type of neural network used to generate synthetic data.
IT: Un tipo di rete neurale utilizzata per generare dati sintetici.
GPU (Graphics Processing Unit): EN: Specialized hardware for parallel processing, commonly used in ML and AI.
IT: Hardware specializzato per l’elaborazione parallela, utilizzato comunemente in ML e AI.
Gradient Descent: EN: An optimization algorithm to minimize a loss function.
IT: Un algoritmo di ottimizzazione per minimizzare una funzione di perdita.
Gaussian Mixture Model (GMM): EN: A probabilistic model that assumes data points are distributed in multiple Gaussian distributions.
IT: Un modello probabilistico che assume che i punti dati siano distribuiti in più distribuzioni Gaussiane.
Graph Neural Network (GNN): EN: A neural network designed to process data represented as graphs.
IT: Una rete neurale progettata per elaborare dati rappresentati come grafi.

Design and Mathematical Analysis of Chiral Optical Fibers for Generating Spin and Orbital Angular Momentum

Abstract. This study presents a detailed theoretical analysis of chiral fibers, focusing on their unique helical core structure and its implications for mode coupling. Chiral fibers are distinguished by their twisted cores, which follow a helical path inside the cladding. The research applies mode-coupling theory under weak guidance to analyze the interactions between linearly polarized modes (LP modes) in the two-mode regime. By introducing periodic perturbations, the study demonstrates efficient power exchange and phase matching between modes, highlighting the coupling mechanisms facilitated by the fiber's chirality. Key findings include the derivation of coupled-mode equations and their solutions, which describe the behavior of the transverse electric field components and the influence of refractive index variations. The analysis further reveals the generation of paired higher-order modes carrying spin angular momentum (SAM) and orbital angular momentum (OAM), with specific phase differences of π/2. The SAM arises from the orthogonality of the electric field components, while the OAM is attributed to the azimuthal phase dependence of the light. Additionally, the study discusses the conversion of the fundamental HE₁₁ mode into combinations of TE₀₁ and TM₀₁ modes under circularly polarized excitation with opposite handedness to the fiber helix. These results emphasize the potential of chiral fibers in enabling advanced photonic applications, such as mode manipulation and angular momentum encoding in optical systems.

Theoretical Analysis

A chiral fiber is a spun eccentric core fiber, in which the twist pitches are less than 1 mm. Since in a fiber there is always an eccentricity between core and cladding, then when the fiber is twisted, its core follows a helical path inside the cladding. A chiral fiber is almost a standard fiber except that its core follows a helical path in the cladding. Thus, this helical core can be considered as a deformation of a straight round core and it is possible to apply the theory of mode-coupling in the presence of helical core to the study of modes in twisted fibers.

Assuming weak-guidance, we use linearly polarized modes ( $LP$ ). In the so-called two-mode regime, there are actually six linearly polarized modes that may exist in the fiber. By using the conventional notation, we designate these modes as ${LP}_{01}^{x}$ , ${LP}_{01}^{y}$ , ${LP}_{11}^{xe}$ , ${LP}_{11}^{xo}$ , ${LP}_{11}^{ye}$ , ${LP}_{11}^{yo}$ . Namely according to the distribution of its electromagnetic fields, the ${LP}_{11}$ mode has four forms: x- and y-polarized fields with azimuthal variation of $\cos φ$ (two even modes) and $\sin φ$ (two odd modes) respectively.

In an straight ideal optical fiber, the ${LP}_{01}$ and ${LP}_{11}$ modes do not couple and thus not exchange power with each other. In order to provide the coupling between these two sets of modes, one may introduce an index perturbation along the fiber by periodic perturbation. The periodic perturbation causes the coupling between ${LP}_{01}$ and ${LP}_{11}$ modes and at the same time facilitates phase-matching between the two sets of modes so that efficient power exchange between them may be achieved. In a chiral fiber, if the offset of the eccentric core is very small compared with the core diameter, the perturbation of the dielectric constant in the core region can be expressed as:

Δ 𝜀 (r, φ) = (n_{co}^{2} - n_{cl}^{2}) δ (r - r_{0}) d \cos (φ - τ z)

(1)

where the twist rate $τ = 2 π ∕ p$ ( $p$ is the twist pitch), $n_{co}$ and $n_{cl}$ are refractive indices of the core and the cladding, respectively, $z$ is the longitudinal coordinate variable of helical-core fiber, $d$ is the offset, and $r_{0}$ is the equivalent radius, which is the zero order coefficient of the trigonometrical series of the eccentric core with a diameter of $a$ and can be evaluated, numerically, solving:

r_{co} (φ, z) = r_{0} + d \cos (φ - τ z)

(2)

where $r_{co}$ is the z-dependent distance of the core–cladding boundary from the center of the fiber. Eq. (2) is the lowest-order expansion (i.e. considering only the first coefficient $r_{1} = d$ ) of the core boundary profile $r_{co} (φ, z)$ for the chiral fiber expanded in harmonic functions:

r_{co} (φ, z) = r_{0} + \sum_{n} r_{n} \cos (n φ - n τ z)

(3)

The twist rate $τ$ is assumed to be positive or negative for right- or left-handed helical structures, respectively.

Assume that the transverse electric field components of the perturbed fiber can be represented by a linear superposition of the $LP$ modes of the unperturbed fiber

E_{t} = \sum_{q} a_{q} (z) \exp (- j β_{q} z) e_{q} (r, φ) = \sum_{q} A_{q} (z) e_{q} (r, φ)

(4)

where the subscript $q$ stands for the mode index of the $LP$ modes and $β_{q}$ , $e_{q} (r, φ)$ are the propagation constants and the field patterns of the corresponding $LP$ modes. $A_{q} (z)$ are the mode complex amplitude of $LP$ modes. The envelopes of the mode amplitudes $a_{q}$ are $z$ dependent as a result of the coupling among the modes. Note that the slowly varying in $z$ expansion coefficients $a_{q} (z)$ are related to the rapidly varying expansion coefficients $A_{q} (z)$ by

A_{q} (z) = a_{q} (z) \exp (- j β_{q} z)

(5)

The coupled-mode equations for $a_{q}$ are derived by using (4) as a trial solution to the vector wave equation for the transverse electric fields of the perturbed fiber

{\nabla^{2} + n^{2} (r, φ, z) k^{2}} E_{t} = - \nabla_{t} (E_{t} \cdot \nabla_{t} \ln n^{2})

(6)

and by making use of the scalar wave equations for the $LP$ modes of the unperturbed fiber

{\nabla_{t}^{2} + {\tilde{n}}^{2} (r) k^{2} - β_{q}^{2}} e_{q} = 0

(7)

where $\tilde{n}$ is the refractive index of the unperturbed fiber.

In the two-mode regime, considering only the first six linear modes, Eq. (4) reduces to:

E_{t} = \sum_{l = [0, 1], μ = [x, y], ν = [e, o]} A_{l 1}^{μν} (z) e_{l 1}^{μν} (r, φ)

(8)

where:

\begin{array}{rcl} e_{l 1}^{μν} (r, φ) & = & F_{l 1} (r) {\begin{matrix} \cos l φ \hat{μ} & ν = even \\ \sin l φ \hat{μ} & ν = odd \end{matrix}} & (9) \end{array}

Due to periodic perturbation (1) applied along the fiber, the ${LP}_{01}^{x}$ mode may couple to the ${LP}_{11}^{xe}$ and ${LP}_{11}^{xo}$ while the coupling to ${LP}_{11}^{ye}$ and ${LP}_{11}^{yo}$ modes which have different polarization will not occur because the index perturbation is isotropic. In the same manner the ${LP}_{01}^{y}$ mode may couple to the ${LP}_{11}^{ye}$ and ${LP}_{11}^{yo}$ . Therefore the pair of ${LP}_{01}$ modes couple with both the two pairs of even and odd modes and a separate treatment of coupled equations for even and odd modes is valid because there are no couplings between the even and the odd modes. According to conventional coupled mode theory, the coupling between the ${LP}_{01}$ modes and the even ${LP}_{11}$ modes can be described by the following coupled-mode equations:

\frac{d}{dz} [\begin{matrix} A_{01}^{x} \\ A_{01}^{y} \\ A_{11}^{xe} \\ A_{11}^{ye} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - j β_{01} & 0 & - j C_{1} & 0 \\ 0 & - j β_{01} & 0 & - j C_{2} \\ - j C_{1} & 0 & - j β_{11} & 0 \\ 0 & - j C_{2} & 0 & - j β_{11} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{01}^{x} \\ A_{01}^{y} \\ A_{11}^{xe} \\ A_{11}^{ye} \end{matrix}]

(10)

The coupling coefficients $C_{1}$ and $C_{2}$ can be expressed as:

C_{1} = ω 𝜖_{0} \iint Δ 𝜀 (r, φ) e_{01}^{x} \cdot e_{11}^{xe} dS = C_{2} = ω 𝜖_{0} \iint Δ 𝜀 (r, φ) e_{01}^{y} \cdot e_{11}^{ye} dS

(11)

Substituting Eq. (1) to Eq. (11) , we have

C_{1} = C_{2} = C \cos (τ z)

(12)

where

C = \frac{πω 𝜖_{0} (n_{co}^{2} - n_{cl}^{2}) r_{0} d F_{10} (r_{0}) F_{11} (r_{0})}{4}

(13)

Then, the coupled-mode equations for the pair of ${LP}_{01}$ modes and the pair of the even ${LP}_{11}$ modes is rewritten as

\frac{d}{dz} [\begin{matrix} A_{01}^{x} \\ A_{01}^{y} \\ A_{11}^{xe} \\ A_{11}^{ye} \end{matrix}] = - j [\begin{matrix} β_{01} & 0 & C \cos (τ z) & 0 \\ 0 & β_{01} & 0 & C \cos (τ z) \\ C \cos (τ z) & 0 & β_{11} & 0 \\ 0 & C \cos (τ z) & 0 & β_{11} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{01}^{x} \\ A_{01}^{y} \\ A_{11}^{xe} \\ A_{11}^{ye} \end{matrix}]

(14)

The coupled-mode equations for the pair of ${LP}_{01}$ modes and the pair of the odd ${LP}_{11}$ have the same form as Eq. (8), except that

C_{1} = ω 𝜖_{0} \iint Δ 𝜀 (r, φ) e_{01}^{x} \cdot e_{11}^{xo} dS = C_{2} = ω 𝜖_{0} \iint Δ 𝜀 (r, φ) e_{01}^{y} \cdot e_{11}^{yo} dS = - C \sin (τ z)

(15)

Therefore for odd modes we have

\frac{d}{dz} [\begin{matrix} A_{01}^{x} \\ A_{01}^{y} \\ A_{11}^{xo} \\ A_{11}^{yo} \end{matrix}] = - j [\begin{matrix} β_{01} & 0 & - C \sin (τ z) & 0 \\ 0 & β_{01} & 0 & - C \sin (τ z) \\ - C \sin (τ z) & 0 & β_{11} & 0 \\ 0 & - C \sin (τ z) & 0 & β_{11} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{01}^{x} \\ A_{01}^{y} \\ A_{11}^{xe} \\ A_{11}^{ye} \end{matrix}]

(16)

From these two sets of coupled-mode equations, i.e, Eq. (14) and Eq. (16), x- and y-polarized modes are not coupled with each other. Thus, for both even and odd modes, we have two independent equation groups for the x- and y-polarized modes, respectively. The two equations groups for different polarizations also have the same forms. This means that light passing through the helical core fiber is polarization-independent. Then for an arbitrary polarization we have

\frac{d}{dz} [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{e} \end{matrix}] = - j [\begin{matrix} β_{01} & C \cos (τ z) \\ C \cos (τ z) & β_{11} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{e} \end{matrix}]

(17)

for the even ${LP}_{11}$ mode, and

\frac{d}{dz} [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{o} \end{matrix}] = - j [\begin{matrix} β_{01} & - C \sin (τ z) \\ - C \sin (τ z) & β_{11} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{e} \end{matrix}]

(18)

for the odd ${LP}_{11}$ mode.

Combining Eqs. (17) and (18) for an arbitrary polarization, we obtained the coupled-mode equation group, describing the coupling between the ${LP}_{01}$ and ${LP}_{11}$ modes with the same polarization state in a single-helix structure as

\frac{d}{dz} [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{e} \\ A_{11}^{o} \end{matrix}] = - j [\begin{matrix} β_{01} & C ∕ 2 \cos (τ z) & - C ∕ 2 \sin (τ z) \\ C ∕ 2 \cos (τ z) & β_{11} & 0 \\ - C ∕ 2 \sin (τ z) & 0 & β_{11} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{e} \\ A_{11}^{o} \end{matrix}]

(19)

Using a transformation of

A_{11}^{+} = \frac{A_{11}^{e} + j A_{11}^{o}}{\sqrt{2}}

(20)

and

A_{11}^{-} = \frac{A_{11}^{e} - j A_{11}^{o}}{\sqrt{2}}

(21)

Eq. (19) becomes

\frac{d}{dz} [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{+} \\ A_{11}^{-} \end{matrix}] = - j [\begin{matrix} β_{01} & C ∕ \sqrt{2} \exp (τ z) & C ∕ \sqrt{2} \exp (- j τ z) \\ C ∕ \sqrt{2} \exp (- j τ z) & β_{11} & 0 \\ C ∕ \sqrt{2} \exp (j τ z) & 0 & β_{11} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{+} \\ A_{11}^{-} \end{matrix}]

(22)

Pointing out that in the expression of the coefficients $A_{q} (z)$ given by (5), appears the exponential term $\exp (- j β_{q} z)$ , it follows that in the coupled-mode equation (22) will attend terms with exponential dependence of the type $\exp (j (β_{01} - β_{11} + τ) z)$ (which multiplies $A_{11}^{+}$ ) or $\exp (j (β_{01} - β_{11} - τ) z)$ (which multiplies $A_{11}^{-}$ ) in correspondence of the matrix elements containing $\exp (j τ z)$ or $\exp (- j τ z)$ respectively.

For right-handed structure ( $τ > 0$ ) the phase matching condition is written as

β_{01} - β_{11} - τ = 0

(23)

and, therefore, the $\exp (j (β_{01} - β_{11} - τ) z)$ results in a synchronous driving term (i.e., one with a zero exponent) while the contribution of $\exp (j (β_{01} - β_{11} + τ) z)$ is negligible.

Conversely, for left-handed structure ( $τ < 0$ ) the phase matching condition is written as

β_{01} - β_{11} + τ = 0

(24)

and, therefore, only the $\exp (j (β_{01} - β_{11} + τ) z)$ is synchronous while $\exp (j (β_{01} - β_{11} - τ) z)$ is negligible.

Hence under phase matching condition, keeping only the synchronous term, the Eq. (22) can be further reduced to a 2 × 2 matrix equation expressed as

\frac{d}{dz} [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{-} \end{matrix}] = - j [\begin{matrix} β_{01} & C ∕ \sqrt{2} \exp (- j τ z) \\ C ∕ \sqrt{2} \exp (j τ z) & β_{11} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{-} \end{matrix}]

(25)

for a right-handed structure, and as

\frac{d}{dz} [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{+} \end{matrix}] = - j [\begin{matrix} β_{01} & C ∕ \sqrt{2} \exp (j τ z) \\ C ∕ \sqrt{2} \exp (- j τ z) & β_{11} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{01} \\ A_{11}^{+} \end{matrix}]

(26)

for left-handed structure. This implies that different forms of ${LP}_{11}$ modes are coupled out for different handed structure.

When the initial conditions are $A_{01} = 1$ and $A_{11}^{+} = A_{11}^{-} = 0$ at the input end ( $z = 0$ ), Eq. (25) and (26) can be solved when the phase matching condition (23) and (24) are satisfied, and since $τ$ is equal in absolute value in the two systems of differential equations (25) and (26) but has opposite sign, the two systems are formally identical, and then

A_{01} (z) = \cos (\frac{C}{\sqrt{2}} z) \exp (- j β_{01} z)

(27)

A_{11}^{+} (z) = A_{11}^{-} (z) = - j \sin (\frac{C}{\sqrt{2}} z) \exp (- j β_{11} z)

(28)

recalling the transformations (20) and (21), we obtain

for right - handed helix : {\begin{matrix} A_{11}^{e} (z) = - j \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{C}{\sqrt{2}} z) \exp (- j β_{11} z) \\ A_{11}^{o} (z) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{C}{\sqrt{2}} z) \exp (- j β_{11} z) \end{matrix}

(29)

for left - handed helix : {\begin{matrix} A_{11}^{e} (z) = - j \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{C}{\sqrt{2}} z) \exp (- j β_{11} z) \\ A_{11}^{o} (z) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{C}{\sqrt{2}} z) \exp (- j β_{11} z) \end{matrix}

(30)

It follows

{\begin{matrix} A_{11}^{o} (z) = - j A_{11}^{e} (z) & for right - handed helix \\ A_{11}^{o} (z) = j A_{11}^{e} (z) & for left - handed helix \end{matrix}

(31)

The fixed phase relationship in (31) imply that the superpositions of ${LP}_{11}^{o}$ and ${LP}_{11}^{e}$ modes are eigenmodes of the perturbed fiber.

Defining

A_{11} (z) : = - j \sin (\frac{C}{\sqrt{2}} z) \exp (- j β_{11} z)

(32)

we can rewritten Eq. (29) and (30) as

{\begin{matrix} A_{11}^{e} (z) = A_{11} (z), A_{11}^{o} (z) = - j A_{11} (z) & for right - handed helix \\ A_{11}^{e} (z) = A_{11} (z), A_{11}^{o} (z) = j A_{11} (z) & for left - handed helix \end{matrix}

(33)

By considering the interaction of a right (left) circularly polarizes $LP P_{01}$ mode field $e_{01}^{r, l}$ and similarly polarized ${LP}_{11}$ mode fields $e_{11}^{er, l}$ and $e_{11}^{or, l}$ , we can rewrite (8) obtaining the transverse electric field

E_{t}^{r, l} = A_{01} (z) e_{01}^{r, l} (r, φ) + A_{11}^{e r, l} (z) e_{11}^{e r, l} (r, φ) + A_{11}^{o r, l} (z) e_{11}^{o r, l} (r, φ)

(34)

for the polarization independence of the single helix chiral fiber we have $A_{11}^{e r, l} = A_{11}^{e}$ and $A_{11}^{o r, l} = A_{11}^{o}$

Substituting (33) in (34) we obtain

E_{t}^{r, l} = A_{01} (z) e_{01}^{r, l} (r, φ) + A_{11} (z) e_{11}^{e r, l} (r, φ) \mp j A_{11} (z) e_{11}^{o r, l} (r, φ)

(35)

where the $-$ and $+$ in Eq. (35) correspond to right- and left-handed structure respectively.

Observing that $A_{01} (z)$ and $A_{11} (z)$ vary as a function respectively of the sine and cosine of $z$ , a total power transfer periodically occurs between the fundamental mode ${LP}_{01} = A_{01} (z) e_{01}^{r, l} (r, φ)$ and the ${LP}_{11} = A_{11} (z) e_{11}^{e r, l} (r, φ) \mp j A_{11} (z) e_{11}^{o r, l} (r, φ)$ mode. The optical power in the modes is, indeed, given by

\begin{array}{rcl} {| A_{01} |}^{2} & = & \cos^{2} (\frac{C}{\sqrt{2}} z) & (36) \\ {| A_{11}^{e} |}^{2} = {| A_{11}^{o} |}^{2} = {| A_{11} |}^{2} & = & \sin^{2} (\frac{C}{\sqrt{2}} z) & (37) \end{array}

For complete transfer of energy from the ${LP}_{01}$ mode to the ${LP}_{11}$ mode, the interaction length, i.e. the length of the twisted core, has to be an odd multiple of the coupling length

L_{c} = \frac{π}{\sqrt{2}} \frac{1}{C} .

(38)

We derive, now, the modes coupled out from the chiral fiber. From (9) we have

\begin{array}{rcl} e_{11}^{o r, l} (r, φ) & = & F_{11} (r) \cos φ (\hat{x} \mp j \hat{y}) & (39) \\ e_{11}^{e r, l} (r, φ) & = & F_{11} (r) \sin φ (\hat{x} \mp j \hat{y}) & (40) \end{array}

where the $-$ and $+$ in Eq. (39) and (40) correspond to right- and left-polarization, respectively. Combining Eq.(35),( 39 ) and (40), we obtain that the following different forms of ${LP}_{11}$ modes are coupled out from right - or left-handed structures when right- or left-circularly polarized light beam illuminates the chiral fiber

for right - handed helix : {\begin{matrix} A_{11} (z) F_{11} (r) (\cos φ - j \sin φ) (\hat{x} - j \hat{y}) right - circularly polarized light \\ A_{11} (z) F_{11} (r) (\cos φ - j \sin φ) (\hat{x} + j \hat{y}) left - circularly polarized light \end{matrix}

(41)

for left - handed helix : {\begin{matrix} A_{11} (z) F_{11} (r) (\cos φ + j \sin φ) (\hat{x} - j \hat{y}) right - circularly polarized light \\ A_{11} (z) F_{11} (r) (\cos φ + j \sin φ) (\hat{x} + j \hat{y}) left - circularly polarized light \end{matrix}

(42)

To analyze the type of modes coupled out from the chiral fiber, it is more convenient to introduce a so-called vortex basis set

\begin{array}{rcl} V_{11}^{+} (r, φ) \overset{def}{=} ({HE}_{11}^{x} + j {HE}_{11}^{y}) ∕ \sqrt{2} & = & (\hat{x} + j \hat{y}) F_{01} ∕ \sqrt{2} & (43) \\ V_{11}^{-} (r, φ) \overset{def}{=} ({HE}_{11}^{x} - j {HE}_{11}^{y}) ∕ \sqrt{2} & = & (\hat{x} - j \hat{y}) F_{01} ∕ \sqrt{2} & (44) \\ V_{21}^{+} (r, φ) \overset{def}{=} ({HE}_{21}^{e} + j {HE}_{21}^{o}) ∕ \sqrt{2} & = & \exp (j φ) (\hat{x} + j \hat{y}) F_{11} ∕ \sqrt{2} & (45) \\ V_{21}^{-} (r, φ) \overset{def}{=} ({HE}_{21}^{e} - j {HE}_{21}^{o}) ∕ \sqrt{2} & = & \exp (- j φ) (\hat{x} - j \hat{y}) F_{11} ∕ \sqrt{2} & (46) \\ V_{T}^{+} (r, φ) \overset{def}{=} ({TM}_{01} - j {TE}_{01}) ∕ \sqrt{2} & = & \exp (- j φ) (\hat{x} + j \hat{y}) F_{11} ∕ \sqrt{2} & (47) \\ V_{T}^{-} (r, φ) \overset{def}{=} ({TM}_{01} + j {TE}_{01}) ∕ \sqrt{2} & = & \exp (j φ) (\hat{x} - j \hat{y}) F_{11} ∕ \sqrt{2} & (48) \end{array}

where we have used the fact that the vector modes may be accurately expressed as linear combinations of $LP$ modes through the weak guidance approximation. Neglecting the proportional factors, the results can be summarized in the table below

	right-handed helix	left-handed helix

right cp light beam: $V_{11}^{-}$	$V_{21}^{-}$	$V_{T}^{-}$

left cp light beam: $V_{11}^{+}$	$V_{T}^{+}$	$V_{21}^{+}$

Conclusions

Therefore a single device, i.e. a chiral fiber with a pitch chosen in order to satisfy the phase matching condition and a length of the twisted core designed to be an odd multiple of the coupling length (38), illuminated to one or the other end (left or right handed helix) by circularly polarized light (left or right), is able to produce in output all the elements of the vortex basis. Indeed we obtain pairs of first higher order modes, with a $π ∕ 2$ phase difference between them, that carry both spin angular momentum (SAM) and orbital angular momentum (OAM). The SAM arises due to the orthogonality of the electric fields of these paired modes, while the OAM arises from the azimuthal phase dependence of the beam. It can be shown that a combination of ${HE}_{21}^{e}$ and ${HE}_{21}^{o}$ modes with $\pm π ∕ 2$ phase shift between them carries one $ℏ$ of SAM and one $ℏ$ of OAM per photon so that the total angular momentum per photon in these modes is $2 ℏ$ . A pair of ${TE}_{01}$ and ${TM}_{01}$ modes with $\pm π ∕ 2$ phase shift between them carries the same magnitude of SAM and OAM as the ${HE}_{21}$ , but with the SAM and OAM having opposing signs, making the total angular momentum equal to zero.

Furthermore we observe that when a circularly polarized light beam with polarization opposite to the helix handedness illuminates the input end of the chiral fiber, the fundamental ${HE}_{11}$ fiber mode is converted into an in-phase combination of ${TE}_{01}$ and ${TM}_{01}$ modes ( $V_{T}^{+}$ or $V_{T}^{-})$ , i.e. a set of a azimuthal and radial cylindrical vector beams.

Un Metodo di Fattorizzazione per il Polinomio Quadratico: $(ax + t_1)(x + \frac{t_2}{a})$

Introduzione

Nel campo dell’algebra, uno degli strumenti più utili è la fattorizzazione dei polinomi. In particolare, la fattorizzazione di un polinomio quadratico $ax^2+bx+c$ è un processo che consente di esprimere il polinomio come prodotto di due binomi lineari. Tradizionalmente, questo avviene tramite le formule di Viète, che collegano i coefficienti del polinomio alle radici della sua equazione associata.

Tuttavia, esiste una forma meno comune di fattorizzazione, che può essere utile in contesti specifici, ed è la fattorizzazione nella forma: $(ax + t_1)(x + \frac{t_2}{a})$

Dove $t_1$ e $t_2$ soddisfano le condizioni seguenti:

$t_1 + t_2 = b$
$t_1 \cdot t_2 = a \cdot c$

Questa forma di fattorizzazione non è ampiamente trattata nei testi di algebra standard. Esaminiamo come e perché questa forma è valida.

La Fattorizzazione di un Polinomio Quadratico: Rivediamo le Basi

Partiamo da un polinomio quadratico standard: $P(x) = ax^2+bx+c$ .

Secondo il teorema di Viète, sappiamo che per un polinomio della forma $P(x)=ax^2+bx+c$ , le radici (dette anche zeri del polinomio) $z_1$ e $z_2$ sono legate ai coefficienti dal seguente sistema:

$z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$
$z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a}$

Queste equazioni collegano le radici $z_1$ e $z_2$ ai coefficienti del polinomio e il polinomio è fattorizzabile in $P(x) = a (x‑z_1)(x‑z_2)$

La Fattorizzazione Alternativa: $(ax + t_1)(x + \frac{t_2}{a})$

Supponiamo ora di avere un polinomio quadratico $P(x)=ax^2+bx+c$ , e vogliamo provare a scomporlo in una forma che coinvolga i termini $ax + t_1$ e $ax + \frac{t_2}{a}$ . La forma proposta è: $(ax + t_1)(x + \frac{t_2}{a})$

Espandendo questa espressione: $(ax+t_1)(x+\frac{t_2}{a}) = ax^2 + t_2x + t_1x + \frac{t_1 t_2}{a}$

Raggruppando i termini: $ax^2 + (t_1 + t_2) x + \frac{t_1 t_2}{a}$ .

Condizioni da soddisfare

Perché questa fattorizzazione sia valida, dobbiamo far corrispondere i termini con quelli del polinomio originale $ax^2+bx+c$ . In particolare:

il termine quadratico $ax^2$ è già corretto;
il termine lineare deve soddisfare la condizione $t_1+t_2=b$ ;
il termine costante deve essere uguale a c, cioè $\frac{t_1 t_2}{a}=c$ che implica $t_1 \cdot t_2 = a \cdot c$

Quindi, devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

$t_1 + t_2 = b$
$t_1 \cdot t_2 = a \cdot c$

Applicazione Pratica

Questo metodo di fattorizzazione potrebbe essere utile in contesti in cui $t_1$ e $t_2$ sono facilmente calcolabili risolvendo il sistema di condizioni visto o quando si desidera utilizzare una forma alternativa per facilitare calcoli successivi. Sebbene questa forma non sia la più comune nelle trattazioni teoriche generali, può risultare particolarmente utile in specifiche applicazioni.

Conclusione

La fattorizzazione nella forma $(ax + t_1)(x + \frac{t_2}{a})$ è un metodo valido per scrivere il polinomio quadratico $ax^2 + bx + c$ in termini di prodotto di binomi lineari, sotto le condizioni particolari che $t_1 + t_2 = b$ e $t_1⋅t_2 = a \cdot c$ . Sebbene non sia una forma canonica di fattorizzazione, rappresenta una variante interessante che può essere utilizzata in situazioni specifiche.

Generare una sequenza di numeri a partire dalla loro media

Introduzione

Il problema che voglio affrontare è generare una sequenza di k numeri,

(x_1,x_2, ... x_k)

, nota che sia la loro media aritmetica

{M}

. Ciò può tornare utile, ad esempio, nel caso in cui si abbia la necessità di effettuare simulazioni di votazioni, graduatorie etc. L'obiettivo è, quindi, trovare un metodo, che non richieda necessariamente l'uso di un calcolatore, per generare k voti o punteggi che abbiano come media un valore M pre-assegnato.
Matematicamente si tratta di risolvere l'equazione lineare:

\begin{aligned} x_1+x_2+...+ x_k&=k\cdot M=n \end{aligned} \tag{1}

Senza perdita di generalità possiamo pensare alle sole soluzioni intere non negative dell'equazione. I voti, infatti, sono espressi, con numeri naturali o al più con numeri decimali con parte decimale in centesimi o millesimi e quindi l'equazione (1) è o, nel caso si ricorra a numeri decimali, può essere ricondotta (moltiplicando ambo i membri per 100 o per 1000) a un'equazione a variabili naturali.

Prima digressione matematica

L'equazione lineare a variabili naturali (1) è un'equazione lineare diofantea: le variabili $x_1, x_2, ..., x_k$ e il termine noto $n$ sono numeri naturali. Una soluzione dell’equazione è una k−upla di numeri naturali $(p_1, p_2, ..., p_k) \in N^k$ che sostituiti ordinatamente alle variabili $x_1, x_2, ..., x_k$ rendono l’equazione identicamente vera, ossia:
$p_1 + p_2 + ... + p_k=n$

e ciascuna componente $p_i$ della quaterna soddisfa la condizione $p_i ∈ \{0, 1, 2, 3, ..., n\}.$

Il numero delle k-uple di interi non negativi che sono soluzioni dell’equazione diofantea (1) è dato da: $\begin{align}\binom{n+k-1}{k-1}&=\binom{n+k-1}{n}\\&=\frac{(n+k-1)!}{n!\cdot(k-1)!} \end{align} \tag{2}$

Più avanti sarà fornita una semplice spiegazione della formula (2).

Simulazione di un concorso

Supponiamo di voler simulare la graduatoria di un concorso. Sia

P_M

il punteggio finale in base al quale sarà stilata la graduatoria. Immaginiamo che nel concorso reale il punteggio finale

P_M

sia calcolato come media dei punteggi ottenuti in quattro distinte prove (A, B, C e D) per ciascuna delle quali è attribuito al concorrente un punteggio parziale (

P_A, P_B, P_C, P_D

) compreso fra

0

30

(ammettiamo che i punteggi siano espressi con numeri decimali con parte decimale in centesimi, es.

28,70

La nostra simulazione consiste in un'inversione del procedimento concorsuale e cioè, stabilito a priori il punteggio finale $P_M$ da assegnare al concorrente, vogliamo generare delle quaterne ( $P_A, P_B, P_C, P_D$ ), costituite dai punteggi parziali di ciascuna prova, la cui media esatta (cioè senza troncamenti o arrotondamenti) sia pari al punteggio finale $P_M$ .

Esempio pratico

Ad esempio scegliamo come punteggio finale $28{,}86$ .

L'equazione (1) in questo caso diventa:

$\begin{aligned}P_A+P_B+ P_C+P_D&=4 \cdot P_M \\ &=4\cdot28{,}86 \\ &=115{,}44 \end{aligned} \tag{3}$

L'equazione (3) ci dice che qualunque quaterna di punteggi parziali tali che la loro somma sia pari a $115{,}44$ soddisfa il requisito della media.

Per ricondurci a un'equazione a variabili naturali moltiplichiamo ambo i lati dell'equazione per $100$ :
$\begin{aligned} P'_A+P'_B+P'_C+P'_D=11544 \end{aligned} \tag{3}$ dove $P'_i=100\cdot P_i$ per $i=A,B,C,D$ sono numeri naturali che possono assumere un valore compreso fra $0$ e $3000$ .

L'equazione lineare a variabili naturali (3) può essere vista come un problema di partizione di un intero (trovare cioè $4$ numeri interi non negativi la cui somma sia pari a $11544$ , soggetti al vincolo $P'_i \le 3000$ ) o in termini di ripartire $11544$ biglie in $4$ contenitori o ancora come i possibili lanci di $4$ dadi (con $3001$ facce, da zero a $3000$ ) la cui somma sia pari a $11544$ . Il numero delle soluzioni può essere calcolato ricorrendo al calcolo combinatorio e le soluzioni possono essere determinate ricorrendo ad algoritmi combinatori e ricorsivi. Ciò tuttavia non è lo scopo di questo articolo. A noi serve un metodo pratico da poter gestire anche manualmente.

Osserviamo, dunque, che una soluzione "banale" del problema è scegliere come punteggi parziali proprio la media voluta, cioè porre $P_A=P_B=P_C=P_D=P_M=28{,}86$ .

Possiamo rappresentare questa situazione pensando alle prove come a dei contenitori e ai punteggi di ciascuna prova come a delle biglie contenute nei contenitori (v. fig.1).

Per comodità è utile ragionare con numeri interi (moltiplichiamo cioè per cento): $28{,}86$ punti per noi corrispondono a $2886$ biglie (in altre parole ciascun centesimo di punto corrisponde a una biglia).

Con in riferimento alla figura 1 è chiaro che possiamo spostare le biglie da un contenitore all'altro e cambiare, così, il punteggio parziale attribuito alle prove A, B, C e D senza che ciò modifichi il numero totale di biglie, cioè mantenendo invariata la media delle biglie nei quattro contenitori. Spostando le biglie posso pertanto abbassare o incrementare il punteggio di una prova rispetto alla media.

Possiamo procedere in questo modo: estraiamo dai contenitori un certo numero di biglie e per semplicità estraiamo da ogni contenitore lo stesso numero di biglie. Se ad esempio togliamo da ciascun contenitore $2$ biglie si presenterà la situazione raffigurata in figura 2.

Così facendo avrò tolto dai contenitori $8$ biglie (v. fig.3) e quindi avrò a disposizione 8 punti da distribuire a piacimento nei quattro contenitori.

Se ad es. ridistribuiamo le otto biglie mettendone una nel contenitore A, una nel contenitore B, due nel contenitore C e quattro nel contenitore D, la situazione sarà quella raffigurata in figura 4.

In questo modo avremo una nuova quaterna di punteggi parziali $P_A=28{,}85$ , $P_B=28{,}85$ , $P_C=28{,}86$ e $P_D=28{,}88$ mentre il punteggio finale, cioè la media dei punteggi, legata alla somma delle biglie che rimane invariata, si manterrà uguale a $P_M=(28{,}85+28{,}85+28{,}86+28{,}88):4=11544:4=28{,}86$ .

Considerazioni

Facciamo alcune riflessioni:

dall'esempio è chiaro che posso generare quaterne diverse dei punteggi parziali semplicemente distribuendo in modo diverso le $8$ biglie fra i $4$ contenitori;
il numero di biglie che all'inizio del procedimento estraggo da ciascun contenitore fissa il punteggio parziale minimo, $P_{min}$ . Prima ho estratto $2$ biglie da ciascun contenitore, per cui se successivamente nel ridistribuire le $8$ biglie non mettessi in uno dei contenitori, ad es. A, nessuna delle $8$ biglie, il punteggio $P_A$ sarebbe il più basso dei punteggi e sarebbe pari a $28{,}84$ . Ribaltando il ragionamento si evince che il numero delle biglie da togliere da ciascun contenitore lo posso scegliere in funzione del punteggio parziale minimo che voglio avere;
più biglie tolgo e maggiore sarà la possibilità di aumentare la variabilità della quaterna dei punteggi parziali, nel senso che potrò ottenere scarti maggiori fra i punteggi parziali e la media;
per calcolare le varie quaterne dei punteggi parziali basta porre l'attenzione sulle biglie estratte da ridistribuire: tutti i modi diversi in cui riesco a distribuire le 8 biglie nei quattro contenitori, daranno vita a quaterne di punteggi parziali la cui media sarà sempre la stessa. Matematicamente i possibili modi in cui posso ridistribuire le 8 biglie saranno la soluzione dell'equazione: $\begin{aligned} x_1+x_2+x_3+x_4=8 \end{aligned} \tag{4}$ con $x_i$ per $i=1,2,3,4$ interi non negativi, cioè $x_i \in [0..8]$ ; l'equazione (4) è un caso particolare dell'equazione generale (1) con $k=4$ e $n=8$ ;
i punteggi parziali $(P_A, P_B, P_C, P_D)$ si ottengono sommando al punteggio minimo $P_{min}$ le soluzioni dell'equazione (4), cioè: $\begin{aligned} P_j=P_{min}+x_i \end{aligned}$ per i=1,2,3,4 e j=A,B,C,D. Possiamo rappresentare il nostro esempio in forma tabellare (si potrà ricorrere per praticità anche ad un foglio di calcolo).

	$P_A$	$P_B$	$P_C$	$P_D$
$P_{min}$	28,84	28,84	28,84	28,84
QUATERNA	1	2	2	4
$P_{min}$ + QUATERNA	28,85	28,86	28,86	28,88

Al cuore del problema

Il nocciolo del problema è, pertanto, determinare le soluzioni dell'equazione (4) ovverosia trovare i modi in cui possiamo ottenere il numero 8 sommando quattro numeri interi non negativi o, in latri termini, determinare i modi in cui posso distribuire le $8$ biglie nei $4$ contenitori. Per fare ciò possiamo ricorrere a un ausilio grafico conosciuto in matematica combinatoria come metodo "palline e barre" (chiamato anche "bastoni e pietre", "stelle e barre" e "punti e divisori").

Mettiamo in fila le nostre otto biglie e per rappresentare la ripartizione "iniziale" nei quattro contenitori, utilizziamo $3$ barre interposte alle biglie come in figura 5. Si noti che il numero di biglie da utilizzare è pari al numero di biglie estratte dai contenitori (nel nostro esempio $n=8$ ) mentre il numero di barre necessarie è pari al numero dei contenitori meno uno, ( $k-1=4-1=3$ ).

La figura 5 mostra la rappresentazione tramite biglie e barre della quaterna $(2, 2, 2, 2)$ che sommata a $P_{min}$ porta, come detto in precedenza, alla soluzione "banale" in cui i punteggi parziali sono pari al punteggio finale.

Con in mente la fig. 5 è facile comprendere che i possibili modi di ripartire le otto biglie nei quattro contenitori, si possono facilmente ottenere spostando la posizione delle barre. Spostiamo ad esempio l'ultima barra fra le prime due biglie (v. fig. 6).

Il risultato sarà quello mostrato in fig. 7 che corrisponde alla quaterna $(1, 1, 2, 4)$ ovverosia alla ridistribuzione delle biglie che realizza la configurazione finale già vista in fig. 4.

Abbiamo, così, a disposizione un metodo facile, grafico e pratico per ottenere tutte le possibili quaterne. In altre parole le soluzioni dell'equazione (4) si ottengono spostando le barre e ponendo $x_1$ uguale al numero di palline prima della prima barra, $x_2$ uguale al numero di palline fra la prima e la seconda barra, $x_3$ uguale al numero di palline fra la seconda e la terza barra e infine $x_4$ uguale al numero di palline dopo l'ultima barra.

Con questo metodo spostando opportunamente le barre è possibile generare anche quaterne contenenti lo zero. Per comodità sostituiamo le biglie con delle stelle. Possiamo ad esempio generare le seguenti quaterne:

$\begin{aligned}|★★|★★★★|★★ \iff (0, 2, 4, 2) \end{aligned}$

$\begin{aligned} |★★||★★★★★★ \iff (0, 2, 0, 6) \end{aligned}$

Seconda digressione matematica

Il numero di possibili quaterne è dato dalla formula (2) sostituendo n=8 e k=4:

$\binom{8+4-1}{4-1}=\binom{11}{3}=\frac{11!}{8!\cdot3!}=\frac{9\cdot10\cdot11}{6}=165$

Il metodo delle stelle e delle barre ci fornisce anche una facile spiegazione della formula (2). Se infatti pensiamo all'insieme delle otto stelle e delle tre sbarre come a undici possibili differenti posizioni (v. fig. 8) occupabili da tre indistinguibili barre (o da otto indistinguibili stelle) si comprende che il numero delle quaterne è pari ai modi in cui posso combinare le tre barre negli undici posti (o le otto stelle negli undici posti), cioè al numero delle combinazioni semplici di 11 elementi di classe 3 (o di 11 elementi di classe 8) che è pari a $\binom{11}{3}=165$ (o $\binom{11}{8}=165$ ). Generalizzando, poiché il numero di posizioni è pari a n+k-1 (come detto in precedenza le stelle sono n e le barre sono k-1) e il numero di barre è k-1 (o il numero di stelle è pari a n) si ottiene la formula (2).

Allarghiamo l'orizzonte

E se nel nostro ipotetico concorso reale anche i punteggi parziali

P_A, P_B, P_C, P_D

fossero delle medie, ottenute ad es. dalla media dei voti attribuiti per ciascuna delle quattro prove da un numero

l

di commissari? Come facciamo a simulare i voti di ciascun commissario?
Con lo stesso ragionamento portato avanti per la simulazione dei punteggi parziali, basta partire dal valore del punteggio parziale, es.

P_A

, prendere in considerazione tanti contenitori quanti sono i commissari, estrarre da ciascun contenitore un prefissato numero di biglie e ridistribuire le biglie estratte col metodo delle stelle e delle barre.
Per chiarire riprendiamo l'esempio di prima. Supponiamo che i commissari siano sette (cioè

l=7

) e che si voglia simulare il loro voto: vogliamo cioè ottenere una sequenza di 7 voti, una settina, la cui media sia pari a

P_A=28{,}85

. In analogia a quanto detto prima, possiamo immaginare di avere 7 contenitori in ognuno dei quali ci sono

2885

biglie (moltiplichiamo per cento per poter lavorare con interi). Scegliamo di estrarre da ciascun contenitore tre biglie. Ciò, se ricordate, equivale a fissare un voto minimo pari a

28{,}82

(poiché

2885-3=2882

). Avremo così a disposizione

7 \times 3=21

biglie da ripartire col metodo delle stelle (che ricordiamo saranno pari al numero delle biglie) e delle barre (che saranno pari a sei, cioè al numero dei commissari meno uno). Qualunque disposizione delle barre darà vita ad una settina valida. Una settina interessante è quella che si ottiene incrementando di una biglia alla volta il numero di biglie da rimettere nei contenitori: partendo ad es. da sinistra e muovendosi verso destra, immaginiamo di mettere zero biglie nel primo contenitore, una nel secondo, due nel terzo, ... sei nel settimo contenitore. Col metodo delle stelle e delle barre si ottiene la seguente configurazione:

$\begin{aligned}|★|★★|★★★|★★★★|★★★★★|★★★★★★ \end{aligned}$

che equivale alla settina $(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ .

Ma perché è interessante? Per capirlo simuliamo i punteggi attribuiti dai sette commissari sommando al punteggio $P_{A_{min}}=28{,}82$ la settina. Ci serviamo, come prima, di una tabella.

	$\bm{P_1}$	$\bm {P_2}$	$\bm{P_3}$	$\bm{P_4}$	$\bm{P_5}$	$\bm{P_6}$	$\bm {P_7}$
$P_{A_{min}}$	28,82	28,82	28,82	28,82	28,82	28,82	28,82
SETTINA	0	1	2	3	4	5	6
Punteggi	28,82	28,83	28,84	28,85	28,86	28,87	28,88
Scarti	-3	-2	-1	0	+1	+2	+3

L'ultima riga della tabella mostra gli scarti, ossia la differenza fra i punteggi di ciascun commissario e la media. Si può vedere che ad ogni punteggio superiore alla media (es. $P_5$ ) corrisponde un punteggio sotto la media (es. $P_3$ ) di scarto uguale in valore assoluto ma di segno opposto. In altri termini ridistribuire le biglie aggiungendo via via a ciascun contenitore una biglia in più, significa generare una sequenza di punteggi perfettamente simmetrica rispetto al punteggio centrale $P_4=28{,}85$ (che è pari alla media) dove ogni punteggio a sinistra è bilanciato da un corrispondente punteggio a destra.

Codice python

Ed ecco un programma in linguaggio python che simula la generazione di una graduatoria secondo l'algoritmo illustrato in precedenza.

				
					import random
# Funzione per generare una quaterna di punteggi
def genera_quaterna(punteggio_finale, punteggio_minimo):
    # Calcola il totale delle "biglie" (unità discrete) in base al punteggio finale
    totale_biglie = int(punteggio_finale * 400)
    # Calcola il valore minimo (base_min) in biglie per ogni elemento della quaterna
    base_min = int(punteggio_minimo * 100)
    # Determina quante biglie sono da redistribuire dopo aver assegnato il minimo a ciascun elemento
    biglie_da_redistribuire = totale_biglie - base_min * 4
    # Se il punteggio minimo richiede più biglie di quante disponibili, solleva un'eccezione
    if biglie_da_redistribuire < 0:
        raise ValueError("Il punteggio minimo è troppo alto rispetto al punteggio finale.")
    # Inizializza i punteggi con il valore minimo
    punteggi = [base_min] * 4
    # Redistribuisci le biglie rimanenti in modo casuale, rispettando il limite massimo di 30.00 punti
    while biglie_da_redistribuire > 0:
        indice = random.randint(0, 3)
        if punteggi[indice] + 1 <= 3000:  # Limite massimo in biglie (30 punti)
            punteggi[indice] += 1
            biglie_da_redistribuire -= 1

    # Converti i punteggi da biglie a valori decimali
    punteggi_decimali = [p / 100 for p in punteggi]
    # Calcola la media intera dei punteggi
    media_intera = sum(punteggi) / 4 / 100
    return punteggi_decimali, media_intera
# Funzione per generare una distribuzione casuale dei punteggi per un numero arbitrario di votanti
def genera_distribuzione_per_punteggio(punteggio, punteggio_minimo, num_votanti):
    # Calcola il totale delle biglie in base al punteggio e al numero di votanti
    totale_biglie = int(punteggio * 100 * num_votanti)
    base_min = int(punteggio_minimo * 100)
    biglie_da_redistribuire = totale_biglie - base_min * num_votanti
    # Controllo di validità: il punteggio minimo non deve superare il totale disponibile
    if biglie_da_redistribuire < 0:
        raise ValueError("Il punteggio minimo è troppo alto rispetto al punteggio finale.")
    # Inizializza la distribuzione con il valore minimo per ciascun votante
    distribuzione = [base_min] * num_votanti
    # Redistribuisci le biglie rimanenti in modo casuale
    while biglie_da_redistribuire > 0:
        indice = random.randint(0, num_votanti - 1)
        if distribuzione[indice] + 1 <= 3000:  # Limite massimo in biglie (30 punti)
            distribuzione[indice] += 1
            biglie_da_redistribuire -= 1
    # Restituisci la distribuzione come valori decimali
    return [d / 100 for d in distribuzione]
# Funzione per stampare una linea orizzontale di lunghezza specificata
def stampa_linea(lunghezza):
    print("-" * lunghezza)
# Inizio del programma: input da tastiera
try:
    # Input del numero di candidati
    n = int(input("Inserisci il numero di candidati da valutare: "))
    assert n > 0, "Il numero di candidati deve essere maggiore di 0."
    # Input del punteggio finale desiderato
    punteggio_finale = float(input("Inserisci il punteggio finale desiderato (P_M) compreso tra 0 e 30: "))
    assert 0 <= punteggio_finale <= 30, "Il punteggio finale deve essere compreso tra 0 e 30."
    # Input del punteggio minimo
    punteggio_minimo = float(input("Inserisci il punteggio minimo per ogni prova (compreso tra 0 e P_M): "))
    assert 0 <= punteggio_minimo <= punteggio_finale, "Il punteggio minimo deve essere compreso tra 0 e P_M."
    # Input del numero di votanti
    num_votanti = int(input("Inserisci il numero di votanti: "))
except ValueError:
    print("Errore: Inserisci numeri validi con un punto per i decimali (es. 28.86).")
    exit()
# Genera e stampa la distribuzione per ciascun candidato
try:
    # Determina la lunghezza della linea separatrice
    lunghezza_linea = 53 + 7 * num_votanti
    riga_index = 0
    # Stampa l'intestazione della tabella
    header = ["N.O.", "CANDIDATO         "] + [f" M{i+1:3} " for i in range(num_votanti)] + ["Somma  ", "Media ", "Punti |"]
    riga_intestazione = "| ".join(header)
    lunghezza_linea = max(lunghezza_linea, len(riga_intestazione))
    stampa_linea(lunghezza_linea)
    print(riga_intestazione)
    stampa_linea(lunghezza_linea)
    # Generazione della distribuzione per ciascun candidato
    for candidato in range(n):
        if candidato == 0:
            punteggio_corrente = punteggio_finale
            punteggio_minimo_corrente = punteggio_minimo
        else:
            # Calcola dinamicamente nuovi valori per il punteggio corrente e il minimo
            differenza = punteggio_finale - punteggio_minimo_corrente
            nuovo_punteggio_minimo = max(18, punteggio_finale - random.uniform(0.01, 0.05) - differenza)
            punteggio_corrente = max(18, punteggio_corrente - random.uniform(0.01, 0.05))
            punteggio_minimo_corrente = nuovo_punteggio_minimo
        # Genera la quaterna e la distribuzione
        quaterna, media_calcolata = genera_quaterna(punteggio_corrente, punteggio_minimo_corrente)

        for i, punteggio in enumerate(quaterna):
            riga_index += 1
            distribuzione = genera_distribuzione_per_punteggio(punteggio, punteggio_minimo_corrente, num_votanti)
            media_della_distribuzione = sum(distribuzione) / len(distribuzione)
            # Stampa una linea di separazione tra blocchi
            if riga_index == 1 or (riga_index - 1) % 4 == 0:
                stampa_linea(lunghezza_linea)
            # Stampa le righe dei punteggi
            if i == 0:
                riga = f"{candidato + 1:3} | Candidato {candidato + 1:3}   a)| {' | '.join([f'{d:.2f}' for d in distribuzione])} | {(int(sum(distribuzione) * 100) / 100):.2f} | {media_della_distribuzione:.2f} | {punteggio_corrente:.2f} |"
            else:
                riga = f"    |                 {chr(97 + i)})| {' | '.join([f'{d:.2f}' for d in distribuzione])} | {(int(sum(distribuzione) * 100) / 100):.2f} | {media_della_distribuzione:.2f} |       |"

            lunghezza_linea = max(lunghezza_linea, len(riga))
            print(riga)
    # Stampa l'ultima linea di separazione
    stampa_linea(lunghezza_linea)
except ValueError as e:
    print(f"Errore: {e}")

I titoli di Ingegnere e di Ingegnera

Introduzione

Con il termine ingegnere nell’uso corrente, è appellato chiunque sia laureato in ingegneria. Come titolo e appellativo è usato di norma nella forma maschile anche se riferito a donna. Il femminile regolare di ingegnere, tuttavia, è ingegnera, e così si può chiamare una donna che eserciti il mestiere di ingegnere. Molti preferiscono però chiamare una donna ingegnere, al maschile. Si tratta di una scelta che non ha basi linguistiche ma sociologiche.

Nell’uso corrente, quindi, ingegnere è sinonimo di laureato in ingegneria ma si sa che sovente ciò che è consuetudine non è detto sia corretto e se proviamo a effettuare una ricerca nei principali vocabolari di lingua italiana troviamo che ingegnere, dal punto di vista lessicale, è un nome derivato da ‘ingegno’ nel significato di ‘congegno, meccanismo’ e che la definizione più ricorrente, è in senso stretto: “chi, fornito di laurea in ingegneria e di abilitazione all’esercizio di tale professione, progetta, organizza e dirige le costruzioni .….”.
Sembrerebbe, quindi, che la laurea da sola non basti e che occorra anche l’abilitazione all’esercizio della professione.

Se, poi, approfondiamo la ricerca e diamo uno sguardo a Internet, si scopre che il tema è oggetto di ampie e a volte accalorate discussioni e ci si imbatte in chi sostiene che può dirsi ingegnere solo chi è iscritto ad uno degli Ordini provinciali degli Ingegneri.

Chi può fregiarsi, dunque, del titolo di ingegnere o ingegnera, chi è laureato, chi è abilitato all’esercizio della professione o chi è iscritto all’albo?”

Il concetto di titolo

Cos’è un titolo? In generale un titolo o qualifica è l’appellativo che spetta a una persona per il suo grado, per gli studi compiuti, per l’attività che esercita, per meriti particolari: titolo militare (generale, colonnello, capitano), titolo accademico (dottore in, professore), cavalleresco (cavaliere della Repubblica, cavaliere del lavoro, cavaliere del sacro ordine…), titolo professionale (medico, avvocato, ingegnere), titolo nobiliare (marchese, principe, re); e per estensione, con titolo si intende anche ogni documento che comprovi il diritto a ricevere un determinato appellativo.

Il rilascio e l’uso di titoli è regolato dalla L. 13 marzo 1958, n. 262 rubricata “Conferimento ed uso di titoli accademici, professionali e simili”. L’articolo 1 recita: «Le qualifiche accademiche di dottore, compresa quella honoris causa, le qualifiche di carattere professionale, la qualifica di libero docente possono essere conferite soltanto con le modalità e nei casi indicati dalla legge». E l’art.2: “Chiunque fa uso, in qualsiasi forma e modalità, della qualifica accademica di dottore compresa quella honoris causa, di qualifiche di carattere professionale e della qualifica di libero docente, ottenute in contrasto con quanto stabilito nell’articolo 1, è punito con .…”.

Pertanto per rispondere alla domanda su chi possa utilizzare il titolo professionale di ingegnere occorre verificare a chi la legge conferisce il titolo in argomento. Seguiremo un ordine cronologico.

Disciplina della professione di ingegnere

Inquadramento storico legislativo

La legge istitutiva della professione di ingegnere (e di architetto) e dell’Ordine degli ingegneri è la legge 24 giugno 1923, n. 1395, “Tutela del titolo e dell’esercizio professionale degli ingegneri e degli architetti” (tuttora vigente). L’art.1 recita: “Il titolo di ingegnere e quello di architetto spettano esclusivamente a coloro che hanno conseguito i relativi diplomi degli istituti di istruzione superiore autorizzati per legge a conferirli”.

Con l’entrata in vigore del provvedimento, pertanto, per poter utilizzare il titolo di Ingegnere era richiesto il solo possesso del diploma di ingegnere conseguito presso un istituto di istruzione superiore autorizzato per legge a rilasciarlo. Con l’art.2 della citata norma inoltre era istituito l’Ordine degli ingegneri costituito dagli iscritti all’albo di ogni provincia e con l’art. 3 veniva stabilito che “sono iscritti nell’albo coloro ai quali spetta il titolo di cui all’art. 1, che godono del diritti civili e non sono incorsi in alcuna delle condanne di cui…”. In altri termini non era richiesta l’abilitazione per potersi iscrivere all’albo e l’unico requisito per la “spendita” del titolo di ingegnere era il possesso del diploma a prescindere dall’iscrizione o meno all’albo.

Si noti altresì che inizialmente (art.4) l’iscrizione all’albo era prescritta al solo effetto del conferimento di incarichi da parte dell’autorità giudiziaria e delle pubbliche amministrazioni e che solo con i provvedimenti legislativi successivi, l’iscrizione all’albo diventa uno degli strumenti attraverso i quali si realizza la tutela della professione e si rende indispensabile in considerazione del preminente interesse che riveste per la collettività l’accertamento dei requisiti di capacità e preparazione tecnica del professionista.

Nel settembre del 1923, a tre mesi circa dalla pubblicazione della legge istitutiva della professione di ingegnere, veniva emanato il regio decreto 30 settembre 1923, n. 2102, che marca il confine tra i titoli accademici e quelli professionali, introducendo l’abilitazione all’esercizio della professione. Il “Capo II — Dei titoli accademici e degli esami di Stato” stabilisce che “Le lauree e i diplomi conferiti dalle università e dagli istituti hanno esclusivamente valore di qualifiche accademiche” (art. 4) e che “L’abilitazione all’esercizio professionale e’ conferita in seguito ad esami di Stato, cui sono ammessi soltanto coloro che abbiano conseguito presso università o istituti … la laurea o il diploma corrispondente.”.

Circa tre mesi dopo, con il regio decreto 31 dicembre 1923, n. 2909, “Disposizioni concernenti gli esami di Stato” si stabiliva (art. 1) che per esercitare la professione di ingegnere è necessario superare l’esame di Stato. E con il testo unico delle leggi sull’istruzione superiore, regio decreto 31 agosto 1933, n. 1592, si ribadiva (art.172) che: “Le lauree e i diplomi conferiti dalle Università e dagli Istituti superiori hanno esclusivamente valore di qualifiche accademiche. L’abilitazione all’esercizio professionale e’ conferita in seguito ad esami di Stato…”.

Ne consegue che da allora in avanti il possesso della laurea (o diploma) non è più sufficiente per potersi appellare “ingegnere” poiché alla laurea è riconosciuto il valore di mero titolo accademico. Il titolo, inteso come documento, che comprova il diritto a ricevere l’appellativo di ingegnere, è l’abilitazione all’esercizio della professione di ingegnere conferita in seguito ad esami di stato.

Per completezza diremo che alla legge istitutiva della professione di ingegnere, seguì il regolamento applicativo, approvato con r.d. 23 ottobre 1925, n. 2537, “Regolamento per le professioni di ingegnere e di architetto” che all’art. 4, richiamando la normativa su citata, previde che “Per essere iscritto nell’albo occorre aver superato l’esame di Stato per l’esercizio della professione di ingegnere e di architetto”. Successivamente veniva emanata la legge 25 aprile 1938, n. 897 che allo scopo di conseguire una maggiore tutela del titolo e dell’esercizio della professione stessa, dettò l’obbligo dell’iscrizione agli albi per le professioni regolamentate. L’art.1 recita che “Gli ingegneri, gli architetti, i chimici, i professionisti in materia di economia e commercio, gli agronomi, i ragionieri, i geometri, i periti agrari ed i periti industriali, non possono esercitare la professione se non sono iscritti negli albi professionali delle rispettive categorie a termini delle disposizioni vigenti”.
Gli esami di stato sospesi nel 1944, furono riattivati con la legge 8 dicembre 1956, n. 1378.

Tornando alla questione del titolo, possiamo riassumere affermando che il titolo di ingegnere competeva a coloro che superato l’esame di Stato previsto dal r.d. 31–8‑1933, n. 1592 e dalla legge 8-12-1956, n. 1378, conseguivano l’abilitazione all’esercizio della professione (cfr De Santis, «Ingegnere e architetto» in “Novissimo Digesto italiano”, diretto da A. AZARA e E. EULA, vol. VIII, Torino, UTET, 1962, pp. 660–662).

L’esame di Stato è sancito anche dall’art. 33 della Costituzione della Repubblica italiana:“E’ prescritto un esame di Stato per … l’abilitazione all’esercizio professionale.

Si noti che, così come prima dell’introduzione dell’esame di stato, era richiesto il solo diploma per poter utilizzare il titolo e non anche l’iscrizione all’albo, necessaria invece per poter esercitare la professione, alla stessa stregua il solo possesso dell’abilitazione consentiva di adoperare il titolo di ingegnere anche senza l’iscrizione all’albo che continuava però, e continua anche oggi, ad essere necessaria per poter esercitare la professione.

A questo punto è d’obbligo una riflessione. E’ opportuno notare che il codice penale all’art. 498 descrive il delitto di usurpazione di titolo come l’uso abusivo del titolo di una professione per la quale è richiesta una speciale abilitazione dello Stato. Questo confermerebbe ancora una volta la necessità della sola abilitazione per l’uso del titolo e non anche dell’iscrizione all’albo. La ratio, tuttavia, dell’art. 498 è che il legislatore abbia voluto tutelare la fede pubblica contro quei comportamenti che alterano gli elementi identificativi di una persona o le sue qualità personali. Tizio potrebbe affidare un incarico professionale a Caio ingannato dal fatto che quest’ultimo usa il titolo di ingegnere pur non avendone i requisiti. Il codice penale protegge cioè il titolo (di ingegnere nel caso specifico) solo in quanto attraverso esso è consentito esercitare una professione. Ma ciò è possibile per un ingegnere solo se è iscritto all’albo. Da queste considerazioni discendeva la conclusione, a cui molti giungevano, secondo la quale il titolo di ingegnere potesse essere usato solo da chi fosse iscritto all’albo. Conseguentemente il laureato in ingegneria che non era iscritto all’albo aveva diritto solo al titolo accademico di dottore in ingegneria anche se in possesso di abilitazione.

Le novità introdotte dal DPR 5 giugno 2001, n.328

Abbiamo sin qui usato l’imperfetto, (il titolo competeva, bastava l’abilitazione etc.) perché il d.P.R. 5 giugno 2001, n. 328, avente ad epigrafe “Modifiche ed integrazioni della disciplina dei requisiti per l’ammissione all’esame di Stato e delle relative prove per l’esercizio di talune professioni, nonché della disciplina dei relativi ordinamenti” ha profondamente innovato la previgente normativa spazzando via ogni dubbio interpretativo circa l’attribuzione del titolo. In particolare il Capo IX — Professione di Ingegnere - art. 45 (Sezioni e titoli professionali) ha previsto al secondo e terzo comma:

2. Agli iscritti nella sezione A (n.d.r dell’Albo) spettano i seguenti titoli professionali:

a) agli iscritti al settore civile e ambientale, spetta il titolo di ingegnere civile e ambientale;
b) agli iscritti al settore industriale, spetta il titolo di ingegnere industriale;
c) agli iscritti al settore dell’informazione, spetta il titolo di ingegnere dell’informazione.

3. Agli iscritti nella sezione B spettano i seguenti titoli professionali:

a) agli iscritti al settore civile e ambientale, spetta il titolo di ingegnere civile e ambientale iunior;
b) agli iscritti al settore industriale, spetta il titolo di ingegnere industriale iunior;
c) agli iscritti al settore dell’informazione, spetta il titolo di ingegnere dell’informazione iunior.

Ne risulta che il titolo di “ingegnere” che sino a quel momento, a norma dell’allora vigente disciplina della professione, non era accompagnato da alcun attributo che specificasse una particolare e specificata competenza legata alla formazione accademica, è sostituito dai titoli di ingegnere civile e ambientale, ingegnere industriale, ingegnere dell’informazione. Possono fregiarsi di tali titoli solo gli iscritti all’albo che per iscriversi devono aver superato i rispettivi esami di stato, distinti per ciascuno dei tre settori. Ai precedenti ingegneri, agli abilitati cioè secondo la precedente normativa, la legge ha dato facoltà di iscriversi a tutti e tre i settori e quindi possono fregiarsi di tutti e tre i titoli anzidetti.

Al riguardo il Consiglio Nazionale degli Ingegneri con la circolare 383/XVII del 26 gennaio 2011, avente ad oggetto: “Titolo accademico e titolo professionale — informazioni da riportare sul timbro — indicazioni circa la distinzione e la corretta dizione con cui chiamare gli iscritti alle Sezioni A e B dell’albo — riepilogo della disciplina” è intervenuto per fare chiarezza, specificando che “il titolo professionale di ingegnere si consegue unicamente con l’iscrizione all’albo professionale” perché così dispone la legge.

Si vuole infine precisare che l’intervento del Consiglio Nazionale degli Ingegneri non può essere letto, come alcuni fanno, come un’azione di parte intesa a favorire l’iscrizione all’albo ma è un provvedimento emanato nella competenza. Giova, infatti, ricordare che L’Ordine è un ente pubblico non economico, sottoposto alla vigilanza del Ministero della Giustizia e posto a tutela della collettività e di terzi, facente capo al Consiglio Nazionale degli Ingegneri e avente la finalità pubblicistica di garantire la qualità delle attività svolte dai professionisti. Fra i compiti istituzionale che la legge attribuisce all’Ordine vi è proprio “La tutela del titolo e dell’esercizio professionale”.

Conclusioni

Dall’esame svolto si evince come il diffondersi di tre possibili risposte alla domanda “a chi spetta il titolo di ingegnere?” (al laureato in ingegneria, all’abilitato all’esercizio della professione, all’iscritto all’albo) trova giustificazione nell’evoluzione storica della disciplina che regola la materia; ci sono stati, infatti, periodi temporali in cui ciascuna delle tre risposte è stata esatta.

In conclusione, secondo il vigente quadro normativo (d.P.R. 5 giugno 2001, n. 328), il titolo di Ingegnere spetta, oggi, a chi è iscritto all’Ordine degli Ingegneri nella sezione A dell’Albo unico nazionale mentre il titolo di Ingegnere iunior appartiene a chi è iscritto all’Ordine degli Ingegneri nella sezione B. Si tratta di un titolo professionale, legato cioè all’esercizio della professione, da non confondere con i titoli accademici. Relativamente a quest’ultimi, ai sensi dell’art. 13, comma 7 del D.M. n. 270/2004, a chi consegue la laurea triennale, la laurea magistrale (oppure la laurea vecchio ordinamento) o il dottorato di ricerca, compete, rispettivamente, il titolo di Dottore, Dottore Magistrale o Dottore di Ricerca.
Il requisito primario per l’iscrizione all’Albo è aver conseguito l’abilitazione all’esercizio della professione di ingegnere a seguito del superamento del relativo esame di Stato, esame a cui si può essere ammessi solo dopo aver conseguito il titolo di Dottore Magistrale per la sezione A e di Dottore per la sezione B in una delle previste classi di laurea. Oltre al superamento dell’esame di Stato, per l’iscrizione nell’albo degli ingegneri occorre la cittadinanza italiana (o di uno Stato avente trattamento di reciprocità con l’Italia), una specchiata condotta morale (art. 2, l. n. 897 del 1938) , il godimento dei diritti civili, non aver riportato alcuna delle condanne di cui all’art. 28, prima parte, della legge 8–6‑1874, n. 1938, salvo riabilitazione.

Quanto al titolo comprovante il diritto a ricevere l’appellativo di Ingegnere, inteso come documento che attesta la capacità di esercitare una professione, questo continua ad essere individuato nell’abilitazione all’esercizio della professione (cfr http://www.quadrodeititoli.it) per il fatto che il titolo professionale di ingegnere (civile e ambientale, industriale o dell’informazione) si consegue mediante il superamento di apposito esame di Stato e si perfeziona con l’iscrizione all’albo professionale.

A

B

C

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I

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K

L

M

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O

P

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T

U

V

W

X

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Z

Theoretical Analysis

Conclusions

Introduzione

La Fattorizzazione di un Polinomio Quadratico: Rivediamo le Basi

La Fattorizzazione Alternativa: (ax + t_1)(x + \frac{t_2}{a})

Condizioni da soddisfare

Applicazione Pratica

Conclusione

Introduzione

Prima digressione matematica

Simulazione di un concorso

Esempio pratico

Considerazioni

Al cuore del problema

Seconda digressione matematica

Allarghiamo l'orizzonte

Codice python

Introduzione

Il concetto di titolo

Disciplina della professione di ingegnere

Inquadramento storico legislativo

Le novità introdotte dal DPR 5 giugno 2001, n.328

Conclusioni

La Fattorizzazione Alternativa: $(ax + t_1)(x + \frac{t_2}{a})$